已知直角三角形ABC,線段BD=h為斜邊的高,內切圓半徑r,求h分之r範圍

azandaish

已知直角三角形ABC,線段BD=h為斜邊的高,內切圓半徑r,求h分之r範圍

這題目是在國三講義上看到的,想來請教各位

另A.B.C的對應邊長為a.b.c
用面積算 bh=r(a+b+c)
三角形特性兩邊長大於第三邊 所以a+c>b
=>  bh=r(a+b+c)>r2b  =>  bh>r2b
然後答案應該就是 0< h分之r < 0.5

xyz73524

azandaish

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jacky0405


    呃..不過答案好像不是這樣子

xyz73524大應該是正解
我解的時候忘記考慮到b+b>a+c...

azandaish

答案好像是√2-1≤h分之r≤½

www0857

雖然答案不確定，但一定不可能等於1/2 ，不然 (r/h) = b/(a+b+c) = (1/2) 時 b=a+c (這根本畫不出直角三角形)
xyz73524大的我也覺得就是正解了

deathy

r/h = b/(a+b+c)就跟樓上一樣

假設ABC所對應的邊為a b c
則根據三角形的性質可列出a+c>b
=> a+b+c>2b => 1/(a+b+c)<1/(2b) => r/h = b/(a+b+c) < 1/2

第二步必須從直角三角形定義下手
a^2+c^2=b^2
根據算幾不等式可列出  a^2+c^2=b^2>=2ac
=>  a^2+c^2+2ac<=a^2+c^2+b^2=2b^2
...

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azandaish

原來是這樣子解啊
感謝各位大師相助

flingswan

8樓正解!!
要是我做時我應該也會忘記用畢氏定理帶前面的範圍...