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標題: 微分問題 [打印本頁]

作者: water456 時間: 2013-11-3 08:25 AM 標題: 微分問題

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作者: isB9K_s 時間: 2013-11-3 02:47 PM

本帖最後由 isB9K_s 於 2013-11-3 04:46 PM 編輯

關於您的問題，我將其計算如下，供您參考
77.
令y=f(x)=x[sup]2[/sup]上之一點為(a,b)
令y=g(x)=-x[sup]2[/sup]+6x-5上之一點為(c,d)
則通過兩點之切線斜率為
m = (d-b)/(c-a) ---------(1)
因為此線同時為y=x[sup]2[/sup]與y=-x[sup]2[/sup]+6x-5的切線
代表m = f'(a) = g'(c) ----(2)
其中 f'(x)=2x, g'(x)=-2x+6

從(1), (2)兩式得知
(d-b)/(c-a)=f'(a)=2a → 2a(c-a)=d-b ----(3)
其中
d = g(c) = -c[sup]2[/sup]+6c-5 ----(4)
b = f(a) = a[sup]2[/sup] ----(5)

所以(3)式被改寫為
2a(c-a) = -a[sup]2[/sup]-c[sup]2[/sup]+6c-5 ----(6)

再透過(2)式得知 f'(a) = 2a = g'(c) = -2c + 6
因而獲得 a = -c + 3 ----(7)

把(7)式代入(6)式，簡化後的方程式為
c[sup]2[/sup] - 3c + 2 = 0 ----(8)

由(8)式解得 c = 1 or 2，並帶回(4)式求得 d = 0 or 3
將c值代回(7)式求得 a = 2 or 1，並帶回(5)式求得 b = 4 or 1

所以兩個切線的斜率可以很快求得
當(a, b) = (2, 4) 而 (c, d) = (1, 0) 時，斜率 m=(0 - 4)/(1 - 2) = 4
所以通過兩曲線的切線為 y = 4x - 4 (用線的點斜式隨便帶其中一點都是一樣的結果)

當(a, b) = (1, 1) 而 (c, d) = (2, 3) 時，斜率 m=(3 - 1)/(2 - 1) = 2
所以通過兩曲線的切線為 y = 2x - 1 (用線的點斜式隨便帶其中一點都是一樣的結果)

至於圖形，利用google搜尋鍵入 y=x^2, -x^2+6x-5, 4x-4, 2x-1便會得到下圖
自己畫也不會太難，隨便令x = 0, 1, 2, -1, -2之後，看y是多少就能把他畫出來了
[attach]96318625[/attach]
如有問題請再提出，謝謝！

作者: xyz73524 時間: 2013-11-6 09:27 PM

[attach]96400484[/attach]

作者: bping123 時間: 2013-11-7 10:03 PM

isB9K_s 發表於 2013-11-3 02:47 PM
關於您的問題，我將其計算如下，供您參考
77.
令y=f(x)=x上之一點為(a,b)

這個圖有問題，兩函數y=x^2與y=-x^2+6x-5不會有交點。
因為 x^2=-x^2+6x-5
2x^2-6x+5=0 此式沒有實數解，所以兩函數沒有交點。

作者: isB9K_s 時間: 2013-11-10 09:59 PM

bping123 發表於 2013-11-7 10:03 PM
這個圖有問題，兩函數y=x^2與y=-x^2+6x-5不會有交點。
因為 x^2=-x^2+6x-5
2x^2-6x+5=0 此式沒有實 ...

TO bping123:
那張圖並沒有畫錯，只是Google的y軸與x軸刻度大小不一，加上多兩條切線的關係，看起來就像是重疊在一起
但其實把它放大會發現並沒有重疊喔

[attach]96510726[/attach]

請問這樣有解決你的疑惑嗎？

作者: bping123 時間: 2013-11-10 11:17 PM

本帖最後由 bping123 於 2013-11-10 11:19 PM 編輯

isB9K_s 發表於 2013-11-10 09:59 PM
TO bping123:
那張圖並沒有畫錯，只是Google的y軸與x軸刻度大小不一，加上多兩條切線的關係，看起來就像 ...

To isB9K_s:了解，應該是解析度的問題讓人誤會了，乍看之下好像交於一點，所以我才去解一下聯立方程。
Sorry!

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