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標題: 木星人和火星人排隊 [打印本頁]

作者: coolman1851 時間: 2011-12-11 03:00 PM 標題: 木星人和火星人排隊

本帖最後由 stw0975 於 2011-12-11 09:58 PM 編輯

(a) 現有5名木星人和3名火星人排在一條直線上。
假設每位木星人和每位火星人是一模一樣的，換句話說，可以用5個字母J來代表木星人和3個字母M來代表火星人。
如果不許任何兩名火星人站在一起，(舉例說，MJJMJMJJ是「合格」的排法，而JMMJJJMJ則是「不合格」的排法)
問總共有多少種「合格」的排法？

(b) 假如5位木星人和3位火星人是各不相同的，換句話說，應用J1、J2、J 3、J4、J5和M1、M2、M3來分別代表5名木星人和3名火星人，那麼又有多少種「合格」的排法？

提示：鑑於解答本題須應用有關排列(Permutation)和組合(Combination)的知識，這裡有必要簡介這方面的基礎知識。

謎題解答
解答(a)部分其實可以不用任何數學知識，單憑普通推理便可以了。
其實只要稍為改變思考答題的角度，便能夠看出一些端倪。
由於不許任何兩個火星人(M)站在一起
他們的位置只可能是下圖中空格的位置：_J_J_J_J_J_例如把3個M放入第1、2、3個空格中得MJMJMJJJ
這就是其中一種「合格」排法。只要我們細心數數，不難得出20種「合格」排法。以下列出這20種排法：MJMJMJJJ MJMJJMJJ MJMJJJMJ MJMJJJJM MJJMJMJJ
MJJMJJMJ MJJMJJJM MJJJMJMJ MJJJMJJM MJJJJMJM
JMJMJMJJ JMJMJJMJ JMJMJJJM JMJJMJMJ JMJJMJJM
JMJJJMJM JJMJMJMJ JJMJMJJM JJMJJMJM JJJMJMJM可是上述這種「直觀」方法不能幫助我們解答(b)部分。
要解答(b)部分，還得使用排列和組合的知識。不過在解釋答案前，筆者想在這裡闡明，雖然排列和組合有重大的區別
即「排列」問題要考慮次序而「組合」問題則不用考慮次序但是我們不能把這兩者的分別看得太死
以為凡是和排隊有關的問題就必定是「排列」問題。其實某個問題是否和次序有關，完全視乎我們看問題的角度，不能一概而論。
因此，有時同一個問題從某個角度看是「排列」問題，從另一個角度卻可能成了「組合」問題。
事實上，「排列」問題本身便含有「組合」的因素。
舉例說，從4個物件A、B、C、D中任意抽2個出來排列，這是典型的排列問題，排列總數為P(4,2) = 4!/(4-2)! = 12，即共有12種排法。可是我們亦可以從另一個角度看這問題其實我們可以把這個問題分為
兩個步驟看：第一個步驟是先從4個物件中任意抽2個出來(不管其次序)第二個步驟則是把在上一步驟所得的2 個物件排次序。
第一個步驟明顯是一個「組合」問題，即C(4,2)而第二個步驟則是一個「全排列」問題，即 P(2,2)(註1)。
由於在第一個步驟中所得的每個組合均須進行排列我們可以把上述兩數相乘得C(4,2) x P(2,2) = 4!/(2!2!) x 2!/0! = 4!/2! = 12
結果跟上面求得的P(4,2)完全相同(註2)。
由此可見，「排列」和「組合」問題雖然各不相同，但卻互有關連解題時必須靈活變通，細心思考。

好了，現在讓我們重新看看(a)部分。
這部分的問題其實就是把3個M放入6個空格的問題。
從另一個角度看，這亦即是從6個空格(姑且稱這6個空格為1、2、3、4、5、6)中任意抽3個出來的問題。
舉例說，假如我們抽2、4 、6這3個空格用來放置M，那麼便得排列JMJJMJJM。
由於在此問題中，空格2、4、6跟6、4、2或4、2、6等等沒有任何分別，同樣都可得到JMJJMJJM這個排列因此空格的序號跟次序無關。由此可見，這是一個「組合」問題所以(a)部分的答案是C(6,3) = 6!/(3!3!) = 6x5x4x3x2x1 / (3x2x1x3x2x1) = 20
這跟前面用「直觀」方法求得的答案完全吻合。
有了解答(a)部分的鍛練後，(b)部分便不難了。
雖然在(b)部分中，每個木星人和火星人各不相同(例如M1J1J3M3J5M2J2J4 跟M1J1J2M2J3M3J4J5 便不一樣，應算作兩種不同的排列)，問題好像非常複雜但如果我們把問題分為三個步驟看，那麼問題便變得容易解了。
第一個步驟是從上述6個空格中抽3個出來放置M，此一步驟的總數即(a)部分的答案C(6,3)=20 。
第二個步驟是把從第一個步驟所得的3個M的組合任意排序其排列總數為P(3,3) = 3!/0! = 3x2x1 = 6。
第三個步驟則是把5個J任意排序其排列總數為P(5,5) = 5!/0! = 5x4x3x2x1 = 120。
由於上述三個步驟各自獨立而且前一步驟所得的每一個結果都要進行下一步驟
所以(b)部分的答案是C(6,3) x P(3,3) x P(5,5) = 20 x 6 x 120 = 14400

作者: cv819500 時間: 2011-12-11 03:05 PM

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作者: bnan6733 時間: 2011-12-11 06:55 PM

連答案都這麼長實在是很懶的看完0.0

不過我還是看完了 .......

作者: gogorock22 時間: 2011-12-12 01:25 AM

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作者: gotoyy 時間: 2011-12-12 04:00 AM

看見數學的排列(Permutation)和組合(Combination)我就知道這是數集的問題

作者: 雷恩巴肯 時間: 2011-12-15 03:34 PM

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作者: adenkk 時間: 2011-12-15 03:39 PM

把火星人當作間隔

來分木星人

作者: helperxp 時間: 2011-12-18 07:02 PM

一看題目就知要用 nCr 及 nPr ...
碰巧兩者我都不熟悉，只好果斷放棄了...

作者: a26325099 時間: 2011-12-21 02:38 AM

竟然考我數學
我懶了...看解說吧...

作者: ekaiyang 時間: 2011-12-21 03:11 AM

a. 6!/(3!*3!)=20 就跟a+b+c+d=3有幾種答案的問題一樣阿
b. 只要把20種組合裡面的每種人再做排列就可以了：20*3!*5!=14400
這些高中的排列組合都有敎

作者: lfo2006 時間: 2011-12-21 03:14 AM

看到頭都暈了，先看答案先...

作者: dallas9527 時間: 2011-12-24 11:07 AM

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作者: pkchen777 時間: 2011-12-24 11:49 AM

解答好長啊................
看不完

作者: rreaay22 時間: 2011-12-24 12:29 PM

看到有點暈
而且又是考數學~~

作者: cool84627 時間: 2011-12-24 12:41 PM

看來發版的應該是一位高中生吧
我答對了=_+

作者: nbvnbv0022 時間: 2011-12-24 01:43 PM

突然變成了上大學數學堂？

作者: 〞籍口﹏軒 時間: 2011-12-24 03:41 PM

有點回到中學計組合的感覺
我頭有點暈了

作者: abck0123 時間: 2011-12-24 04:07 PM

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作者: cpcccc 時間: 2012-1-1 03:50 PM

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作者: peter0831 時間: 2012-1-1 04:32 PM

高中排列組合的問題
不過太久沒碰了

作者: phoenix1993 時間: 2012-1-1 06:05 PM

我的頭好痛ㄚㄚㄚㄚㄚ，這種題目看了就頭暈

作者: era43932 時間: 2012-1-1 06:19 PM

數學的猜謎和思考~~~呵呵~頭腦快亂掉了~~~要清晰的分析才可以知道

作者: o5300701 時間: 2012-1-1 06:34 PM

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作者: z129125377 時間: 2012-1-1 07:01 PM

光看了我就頭暈了= =....

作者: emcsquare 時間: 2012-9-21 01:57 PM

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作者: BlackTea2012 時間: 2012-9-22 01:13 AM

看到題目人就倒了 == 頭昏又眼花

作者: windgod0992003 時間: 2012-9-22 01:43 AM

so complicated!!!
funny but difficult!!!
thank for sharing!!!

作者: kaiah 時間: 2012-9-22 02:06 AM

這種題目,看問題覺得很難,看答案簡直頭昏腦脹....

作者: kachun613 時間: 2012-9-22 01:00 PM

阿~我的天阿.........
我根本猜不出來...........
而且我覺得答案會不會太長了...........

作者: v333333v 時間: 2012-9-22 01:45 PM

哈哈我脫離這個時光好久了~~XD\

作者: c22700101 時間: 2012-9-22 01:58 PM

要用P 跟 C 去算頭昏啦!~

作者: 私___愛 時間: 2012-9-22 02:36 PM

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作者: kd7456 時間: 2012-9-22 03:30 PM

有點懶得看完直接看解答

作者: s90005215 時間: 2012-9-24 03:12 AM

感謝大大無私分享~

作者: litu889 時間: 2012-10-1 12:50 PM

好昏頭阿, 太複雜!!!!

作者: ccbrian2736 時間: 2012-10-1 01:47 PM

還沒學過排列組合...還真難阿

作者: 敏莉peach 時間: 2012-10-2 09:20 PM

又是數學題題目長答案更長看的頭都昏了

作者: k10321032 時間: 2013-4-19 02:15 AM

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作者: shi87875 時間: 2013-4-19 09:01 AM

我最討厭這種數學的排列問題了，好難啊。

作者: fang12300 時間: 2013-4-19 10:40 AM

連答案都這麼長實在是很懶的看完......

作者: fang12300 時間: 2013-4-19 10:43 AM

連答案都這麼長實在是很懶的看完......

作者: ar511523 時間: 2013-4-23 02:04 AM

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作者: superboy 時間: 2013-4-23 02:33 AM

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作者: densewater 時間: 2013-4-23 03:26 AM

覺得應該跟7!有點關係, 因為答案是不能重複, 只有八個位置.

作者: lsyzmn 時間: 2013-4-23 07:04 AM

B部分想錯了，算成60個，已經有點昏了，忘記交換位置

作者: fpukc 時間: 2013-4-23 11:05 AM

好複雜的答案阿
想不出來呢

作者: 冰火之殤 時間: 2013-4-23 12:05 PM

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作者: 030331807 時間: 2013-4-23 02:30 PM

看到頭都暈了，先看答案先...

作者: J208015157 時間: 2013-4-23 03:46 PM

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作者: 打者 時間: 2013-4-23 04:41 PM

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作者: rick0123 時間: 2013-5-7 11:19 AM

連答案都這麼長實在是很懶的看完0.0

不過我還是看完了 .......

作者: chualan2888 時間: 2013-5-7 02:44 PM

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作者: edisonchau 時間: 2013-5-7 03:11 PM

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作者: nbgfdew12345 時間: 2013-5-7 04:58 PM

謝謝大大的分享阿~~~~~~!!!!!!XDDDDDD

作者: lbc450 時間: 2013-5-7 06:15 PM

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作者: kelvin999 時間: 2013-5-7 06:18 PM

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作者: fumi555283 時間: 2013-5-7 09:50 PM

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作者: 黑月帝王 時間: 2013-5-7 10:51 PM

這些邏輯的問題當然是看直接答案啦A_A

作者: meaningman 時間: 2013-5-7 10:59 PM

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作者: 哈哈哈=ˇ= 時間: 2013-5-7 11:12 PM

這根本國高中數學題=日=

作者: POTER傑 時間: 2013-5-7 11:53 PM

真的頭好痛喔數學不太好ㄟ

作者: tenderyou 時間: 2013-5-8 12:59 AM

第一題：
8!除以(5!)x(3!)-7!除以(5!)(2!)
=35

第二題：
8!-(C3取2)x7!
=25200

不知道對不對。

作者: bonamin123 時間: 2013-5-8 01:36 AM

排列組合的題目!
a:20種
b:14400種

作者: rick0123 時間: 2013-5-13 02:33 PM

答案都這麼長實在是很懶的看完0.0

不過我還是看完了 .......

作者: luffy86742 時間: 2013-5-13 05:22 PM

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作者: meaningman 時間: 2013-5-13 06:02 PM

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作者: cpcccc 時間: 2013-5-13 09:16 PM

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作者: BT8011 時間: 2013-5-14 03:33 PM

難題啊,
第一個問題的答案還好找,
但第二個嗎, 算了吧

作者: moothy 時間: 2013-5-14 04:19 PM

我想這種題目高中生最會吧
我已經老了腦袋轉不過來囉

作者: kevin19961118 時間: 2013-5-18 01:13 PM

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作者: fglo 時間: 2013-5-18 01:29 PM

不知道. 看到題目就........暉．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

作者: 你妹的xx 時間: 2013-5-18 03:01 PM

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作者: SAMON1548 時間: 2013-5-26 05:55 AM

看完都暈了.... 難怪我數學一項不好

作者: 782353540 時間: 2013-6-4 09:25 PM

哇賽....這種題目看了就好昏頭阿= =""

作者: jingenxy 時間: 2019-8-11 04:38 PM

嗯...這題目看完小弟就直接投降了 ...

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